Fondamentaux

de géométrie numérique

Les Météores (Descartes)

Abstraction et intuition

Avec le passage au numérique, le dessin d'architecture s'est enrichi d'une nouvelle modalité qui l'inscrit désormais dans une dualité entre deux modes complémentaires et opposés, deux types de dessin basés sur deux types de géométrie qui chacune à sa façon nous parle de nombres et de figures mais chacune avec un point de vue qui privilégie l'un de ces deux pôles, entre abstraction et intuition.

• D'un côté, « la géométrie synthétique ou géométrie pure est fondée sur une approche axiomatique (donc, « purement logique ») de la géométrie. » (Wikipedia). Une géométrie qu'on pourrait caractériser comme étant une géométrie pré-cartésienne.
• De l'autre, « la géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les objets sont décrits par des équations ou des inéquations à l'aide d'un système de coordonnées. » (Wikipedia). Les mathématiques modernes et l'informatique ont « consacré » la géométrie analytique dont le formalisme basé sur le méthode axiomatique est parfois contesté [1].

Géométrie numérique

La géométrie numérique est une géométrie propre aux systèmes numériques dont l'existence est entièrement corrélée au fonctionnement des ordinateurs. Elle représente un nouveau paradigme scientifique qui s'inscrit dans le prolongement de l'histoire des mathématiques depuis l'émergence de l'espace galiléo-cartésien au XVIIe siècle jusque dans la « crise des fondements » et la mécanisation du calcul symbolique au XIXe siècle.

La géométrie numérique et les « interfaces digitales » représentent une nouvelle forme de mathématiques, des « mathématiques vivantes » au sens littéral du terme qui peuvent nous offrir le « meilleur des deux mondes » de la géométrie analytique et de la géométrie synthétique ; « analytiquement » par l'« algébrisation » de la pensée et de la géométrie, « synthétiquement » par l'intuition géométrique que nous offre l'interactivité des machines (l'imagerie médicale par exemple représente une évolution intéressante qui va dans ce sens).

Dessin numérique

Pour l'architecte, la pratique du dessin numérique est le moyen par lequel cette synthèse subtile des deux géométries peut prendre forme. Tout comme le dessin « analogique » qui est le lieu d'un équilibre ténu et instable d'un geste qui relie la perception du monde extérieur et sa traduction dans le medium du papier, le dessin numérique doit être compris comme l'alchimie subtile de la pensée analytique et de la pensée synthétique ; l'alliance de la géométrie analytique numérique (qui est une forme restreinte de géométrie algébrique) et d'une forme de « géométrie dynamique des esquisses ». Il s'agit donc d'enseigner la transition numérique par le dessin numérique, comme une forme de symbiose entre le mode synthétique et le mode analytique.

Langage algébrique

• L'Algèbre linéaire est le langage fondamental de la géométrie analytique numérique
• Elle a pour cadre l' espace vectoriel
• Un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs (Wikipedia)
• La notion de vecteur peut être entendue d'une façon restreinte comme une simple distance orientée (en tant que bipoint il exprime une mesure algébrique) qui est analytiquement équivalent à la donnée d'un n-uplet de nombres

Géométrie dynamique

Découvrir les théorèmes de l'algèbre linéaire et manipuler des vecteurs avec Geogebra.

Langages graphiques

• Exemples pratiques d'application des fondamentaux de géométrie analytique numérique par les langages graphiques

Modélisation de la Gare de Reggio d'Émilie-Mediopadana avec Grasshopper.

Géométries paramétriques avec Sverchok sous Blender

Langages numériques

• Travaux pratiques pour découvrir les fondamentaux de géométrie analytique numérique par le Langage de programmation Python.

Pratiques manuelles numériques

Nous retrouvons au sein même du numérique les deux modalités de conception par l'intuition et par l'abstraction. L'algébrisation de la conception par le biais des langages numériques est une approche plutôt analytique qui met en avant des opérations formelles de la conception. Les logiciels « traditionnels » de modélisation sont une numérisation des pratiques du dessin manuel et de la fabrication de maquette. Les opérations de modélisations effectuées sous Blender par exemple sont de l'ordre de la manipulation directe d'une « cire numérique ».

[1]: « En classe de quatrième (13 ans), dans certaines écoles, la géométrie était détachée de la notion de dessin et de construction, pour endosser une structure axiomatique plus absconse. Le théorème de Thalès était érigé en axiome à partir de la classe de quatrième. La notion de mesure algébrique, à mi-chemin entre la notion de distance et celle de vecteur, ajoutait à la confusion dans la formulation de cet axiome. En troisième (14 ans) et en seconde (15 ans), l'approche classique de la géométrie euclidienne était mêlée à des éléments théoriques inspirés du programme d'Erlangen. » Wikipedia mathématiques modernes